n-Dimensional fuzzy implications: analytical, algebraic and applicational approaches

Abstract

A lógica fuzzy n-dimensional (n-DFL) é uma extensão da lógica fuzzy (FL) tão antiga quanto conjuntos fuzzy hesitantes e menos explorada, motivando novas investigações e promovendo resultados para consolidar essa área de pesquisa. O estudo do n-DFL contribui para superar a insuficiência da lógica fuzzy tradicional na modelagem de informações imperfeitas e imprecisas provenientes de diferentes opiniões de especialistas. Além disso, a possibilidade de modelar graus de pertinência repetidos e ordenados nos conjuntos fuzzy n-dimensionais é considerada uma estratégia consolidada em tecnologias aplicadas, incluindo áreas como reconhecimento de padrões, processamento de imagens, mineração de dados e morfologia matemática. Esse amplo campo de aplicações motiva os estudos desenvolvidos neste trabalho. Com base na representabilidade dos conectivos fuzzy n-dimensionais, somos capazes de estender os relevantes resultados teóricos dos conectivos fuzzy à abordagem fuzzy n-dimensional. Em particular, esta proposta introduz o estudo das implicações fuzzy n-dimensionais (n-DI), seguindo abordagens distintas: (i) estudos analíticos, definindo n-DI, apresentando as propriedades mais desejáveis como neutralidade, ordenação, (contra)-simetria, princípios de troca e identidade e também discutindo suas inter-relações e exemplificações; (ii) aspectos algébrico relacionados principalmente à continuidade esquerda e direita de t-normas fuzzy n-dimensional representável e a geração de n-DI a partir de implicações fuzzy existentes; (iii) abordagem n-dimensional de classes de implicações fuzzy representadas explicitamente por conectivos fuzzy, como (S,N)-implicações e QL-implicações; (iv) estudos prospectivos de R-implicações n-dimensionais (n-DRI), analisando condições estendidas para verificar o princípio da residuação e sua caracterização com base nas t-normas n-dimensionais e n-DI; (v) método construtivo de obtenção de n-DRI com base em operadores de agregação n-dimensionais, apresentando uma exemplificação na solução de um problema envolvendo CIM-MCDM, com base em n-DRI Łukasiewicz; e também incluindo (vi) um estudo introdutório considerando um n-DI na modelagem de esquemas de inferência do raciocínio aproximado, lidando com o papel efetivo de tais conectivos em sistemas fuzzy baseado em regras. Além disso, considera a ação do automorfismo e das negações fuzzy em Ln(U), operadores duais e conjugados de n-DI podem ser obtidos respectivamente, preservando as propriedades algébricas e analíticas.